شرح درس التبرير الاستقرائي والتخمين

فيما سبق:

درست استعمال البيانات لإيجاد أنماط والتوصل إلى توقعات.

أهداف الدرس:

• اكتب تخمينات مبنية على التبرير الاستقرائي.
• أجد أمثلة مضادة.

المفردات: 

• التبرير الاستقرائي.
• التخمين.
• المثال المضاد. 

لماذا؟

في أبحاث التسويق، يتم تحليل إجابات مجموعة من الأشخاص عن أسئلة محددة عن المنتج، ثم يتم البحث عن نمطية معينة في الإجابات حتى الوصول إلى نتيجة. وتسمى هذه العملية التبرير الاستقرائي.

ما الأشياء التي يبحث عنها باحث التسويق؟

مبيعات المنتج، مقارنته بالمنتجات المنافسة.

لماذا يقوم الباحث بتوجيه الأسئلة لمجموعة من الأشخاص فقط؟

في كثير من الأحيان يصعب توجيه الأسئلة إلى جميع المستهلكين، ولذلك توجَّه الأسئلة إلى مجموعة مماثلة.

التبرير الاستقرائي:

هو تبرير تستعمل فيه أمثلة محددة للوصول إلى نتيجة. وعندما تفترض استمرار نمط على نفس الوتيرة، فإنك تستعمل التبرير الاستقرائي، وتسمى العبارة النهائية التي توصلت إليها باستعمال التبرير الاستقرائي تخميناً.

• النتيجة التي يتم الوصول إليها من التبرير الاستقرائي تسمى التخمين.

مثال:

اكتب تخميناً يصف النمط في كل من المتتابعات الآتية، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي في كل منها.
1- مواعيد وصول الحافلات إلى محطة الركوب هي:
 8:30 صباحاً، 9:10 صباحاً، 9:50 صباحاً، 10:30 صباحاً، …….

الحل:

الخطوة الأولى: ابحث عن نمط.

• 8:30 صباحاً، 9:10 صباحاً، 9:50 صباحاً، 10:30 صباحاً ……….

    40 دقيقة        40 دقيقة       40 دقيقة

الخطوة الثانية: ضع تخميناً.

• يزيد عدد موعد وصول الحافلة 40 دقيقة عن موعد وصول الحافلة التي سبقتها. موعد وصول الحافلة التالية يكون 10:30 صباحاً + 40 دقيقة أي 11:10 صباحاً
  بالتالي الجواب يكون: 11:10 صباحاً      

تمرين 1:

اکتب تخمينا یصف النمط في کل من المتتابعات الآتية، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي في كل منها:

1. متتابعة أشهر: صفر، رجب، ذو الحجة، جمادى الأولى، …….
   الجواب: شوال
   الإيضاح: الشهر التالي في المتتابعة يأتي بعد خمسة أشهر من الشهر السابق.
    
2. 10، 4، -2، -8، ………….
   الجواب: 14-
   الإيضاح: العدد التالي في المتتابعة يقل بمقدار 6 عن العدد السابق.
    

3.   
   الجواب: 

   
   الإيضاح: يقسم كل مثلث مظلل في الشكل السابق إلى أربع مثلثات متطابقة الأضلاع يتوسطها مثلث أبيض.

مثال:

ضع تخميناً يصف النمط في كل متتابعة مما يأتي، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي في كل منها.

   2, 4 ,12, 48 ,240, ………….  (a

الجواب: 1440
التخمين: اضرب الحد n في العدد n+1 للحصول على العدد التالي 1440.

تمرين 2:

ضع تخميناً لكل قيمة أو علاقة هندسية لكل مما يأتي، وأعطي أمثلة عددية أو ارسم أشكالاً تساعد على الوصول لهذا التخمين.

1- ناتج جمع عددين زوجيين.
الحل:

6 = 2 + 4 
18 = 10 + 8
10 = 6 + 4

ينتج أن جمع عددين زوجيين هو عدد زوجي

2- العلاقة بين AB و EF، إذا كانت: CD = AB و EF = CD

 ينتج أن: AB = EF

3- مجموع مربعي لعددين كليين متتاليين 

الحل: مجموع مربعي عددين كليين متتاليين هو عدد فردي

إذن مجموع مربعي عددين كليين متتاليين هو عدد فردي.   

• تعتمد التخمينات في المواقف الحياتية على بيانات يتم جمعها حول موضوع التخمين.

مثال: 

يبين الجدول المجاور سعر منتج خلال السنوات من 1402 هـ إلى 1427 هـ.

أنشئ التمثيل البياني الأنسب لعرض هذه البيانات

• ضع تخميناً لسعر المنتج عام 1432 هـ

من خلال الرسم نجد أن 1432 هـ يناظر قيمة 46
إذن الجواب: 46 ريالاً تقريباً

• هل من المنطقي القول بأن هذا النمط سيستمر بمرور الزمن؟ وإذا لم يكن كذلك، فكيف سيتغير؟   

نعم، هذا الاتجاه المتزايد معقول، لأنه من المحتمل أن يستمر سعر المنتج في الزيادة على مر السنين.

لإثبات صحة تخمين معين لكل الحالات، يتطلب تقديم برهان لذلك التخمين. بينما لإثبات عدم صحة التخمين يكفي تقديم مثال واحد معاكس للتخمين، وقد يكون عدداً أو رسماً أو عبارة، وهذا المثال المعاكس يسمى المثال المضاد أو المخالف.

تمرين 3:

أعطي مثالاً مضاداً يبين أن كلاً من التخمينات الآتية خاطئة.

1- إذا كان n عدداً حقيقياً، فإن n- يكون سالباً.

نعطي مثال: n عدد حقيقي = 2-

n=-2 ⇒ -n = - (-2) = 2

وهذا أعطانا عدد موجب "مثال مضاد "

2- ∠ABE> ≅ DBC إذا كان لدينا

فإن ∠ABE و ∠DBC متقابلتان بالرأس.

عندما تكون النقاط A  ,  B  ،  D تقع على استقامة واحدة 
والنقاط E ,  B ، C   لا تقع على استقامة واحدة

يكون التخمين خاطئاً

في الشكل الآتي ABE ≅∠DBC⦣، ولكن ABE⦣ و DBC⦣ غير متقابلتين بالرأس.