شرح درس حل التناسب
تعرفنا سابقاً أنه إذا كانت الكميتان متناسبتين فإن النسبة بينهما ثابتة. أما في العلاقات التي تكون فيها النسبة غير ثابتة فيقال أن الكميتين غير متناسبتين.
استعد:
ارسم مخططاً للمستطيل على ورقة مربعات بحيث يكون طوله ١٦ وحدة، وعرضه وحدة واحدة، ثم ظلل ١٢ مربع من الشبكة.
ما نسبة المربعات المظللة إلى عدد المربعات الكلي؟
الجواب: ١٢ إلى ١٦
إذا قسمت المستطيل إلى أثمان، فما نسبة الأثمان المظللة إلى العدد الكلي للأثمان؟
الجواب: ٦ إلى ٨
لسّى درس حل التناسب صعب عليك؟ لك حصتين مجانية مع باقتك الأولى
فكر بطريقة أخرى لتقسيم المستطيل إلى أقسام متساوية. ما نسبة الأجزاء المظللة إلى العدد الكلي للأجزاء؟
الجواب: أرباع، ٣ إلى ٤
ماذا تستنتج عن النسب الثلاث التي توصلت إليها؟
الجواب: إنها جميعاً متكافئة، لأن مساحة المنطقة المظللة والمساحة الكلية لها النسبة نفسها.
فنلاحظ أن النسبة بين عدد الأجزاء المظللة وغير المظللة متساوية عندما قسمنا المستطيل إلى أجزاء متساوية وتسمى نسباً متكافئة لأن أبسط صورة لها متساوية وهي ٣ / ٤.
مظلل جزء ١٢ / ١٦ الأجزاء جميع = ٦ مظلل جزء / ٨ الأجزاء جميعها.
بالتناسب: معادلة تبين أن نسبتين أو معدلين متكافئان.
مثال (تناسب أعداد ): ٦ / ٨ = ٣ / ٤
مثال (تناسب جب): أ / ب = جـ / د، حيث ب≠٠، د≠٠.
ليكن لدينا التناسب الآتي:
أ / ب = جـ / د
أ / ب × ب د = جـ/ د × ب د اضرب كل طرف في (ب د) ثم اختصر أ / د = ب/ جـ "بسِّط"
(لاحظ: في التناسب أ / ب = جـ/ د ضربنا طرفي التناسب في حاصل ضرب المقامين ب × د، وهذا يؤدي إلى حذف المقامات في التناسب)
تسمى نواتج الضرب أ، ب، ج، د بنواتج الضرب التبادلي للتناسب، وهي متساوية في أي تناسب، ويمكن استعمال الضرب التبادلي في حل تناسب أحد أطرافه غير معروف.
نواتج الضرب التبادلي متساوية
مثال:
ارتفعت درجة حرارة الجو خلال ساعتين بمقدار ٧° س. اكتب تناسباً وحله لإيجاد عدد الساعات اللازمة حتى ترتفع درجة الحرارة بمقدار ١٣° س وفق المعدل نفسه.
الحل:
اكتب التناسب، ليكن "ن" يمثل الزمن بالساعات.
٧ / ٢ = ١٣ / ن، درجة الحرارة / الزمن = درجة الحرارة / الزمن.
٧ / ٢ = ١٣ / ن، اكتب التناسب:
٧ × ن =٢ × ١٣ (اضرب ضرباً تبادلياً)
٧ ن = ٢٦ (أوجد ناتج الضرب)
٧ ن/ ٧ = ٢٦ / ٧ (اقسم كلا الطرفين على ٧)
ن ≈ ٣.٧ (بسط)
إذن نحتاج إلى ٣.٧ ساعات حتى ترتفع درجة الحرارة بمقدار ١٣° س.
تمرين:
حل كل التناسب التالي:
س / ٤ = ٩ / ١٠
الحل:
س / ٤ = ٩ / ١٠، اكتب التناسب
١٠ × س = ٤ × ٩ (اضرب ضرباً تبادلياً)
١٠ س = ٣٦ (أوجد ناتج الضرب)
س ١٠ / ١٠ = ٣ ٦ / ١٠ (اقسم كلا الطرفين على ١٠)
ن ≈ ٣.٦ (بسط)
مثال من واقع الحياة:
خلال حملة للتبرع بالدم، كانت نسبة المتبرعين من فئة O إلى جميع المتبرعين من الفئات الأخرى ٣٧: ٤٣. ماذا تتوقع أن يكون عدد المتبرعين بالدم من الفئة O في مجموعة مكونة من ٣٠٠ متبرع؟
الحل:
اكتب التناسب وحله، وليكن ص عدد المتبرعين من فئة الدم O الموجودين في ٣٠٠ متبرع.
٣٧ / ٨٠ = ص / ٣٠٠، المتبرعين من فئة O / (٣٧ +٤٣) = المتبرعين من فئة O / جميع المتبرعين.
٣٧ × ٣٠٠ = ٨٠ × ص (اضرب ضرباً تبادلياً)
١١١٠٠ = ٨٠ ص (أوجد ناتج الضرب)
١١١٠٠ / ٨٠ = ص ٨٠ / ٨٠ (اقسم كلا الطرفين على ٨٠)
ص = ١٣٨.٧٥ (بسط)
إذن يتوقع أن يكون عدد المتبرعين من فئة الدم O يساوي ١٣٩ شخصاً من ٣٠٠ متبرع.
تمرين:
إذا كانت عملية إعادة تدوير ٩٠٠ كجم من الورق تحمي ١٧ شجرة تقريباً، فاكتب تناسباً وحله لإيجاد عدد الأشجار المتوقع حمايتها، إذا تم تدوير ٢٢٥٠ كجم من الورق.
الحل:
٩٠٠ / ١٧ = ٢٢٥٠/ س
٩٠٠ × س = ١٧ × ٢٢٥٠ (اضرب ضرباً تبادلياً)
٩٠٠ س = ٣٨٢٥٠ (أوجد ناتج الضرب)
س ٩٠٠ / ٩٠٠ = ٣٨٢٥٠ / ٩٠٠ (اقسم كلا الطرفين على ٩٠٠)
س = ٤٢.٥ (بسط)
ويمكن أيضاً استعمال نسبة ثابتة لكتابة معادلة تعبر عن العلاقة بين كميتين مناسبتين. وتسمى النسبة الثابتة في هذه الحالة ثابت التناسب.
مثال:
اشترى عادل ٣٠ لتراً من البنزين بمبلغ ١٨ ريالاً. اكتب معادلة تربط بين عدد اللترات وثمنها. وكم يدفع ثمناً لـ ٤٢ لتراً من البنزين وفق المعدل نفسه؟
الحل:
أوجد ثابت التناسب بين ثمن اللترات وعددها.
ثابت التناسب = (ريال) الثمن (لتر) العدد = ١٨ / ٣٠ = "٠.٦".
التعبير اللفظي: ثمن البنزين يساوي ٠.٦ ريال مضروباً في عدد اللترات
المتغير: لتكن "ك " تمثل الثمن، "ل " تمثل عدد اللترات
المعادلة: ك = ٠.٦ × ل
أوجد ثمن ٤٢ لتراً من البنزين وفق المعدل نفسه.
ك = ٠.٦ × ل (اكتب المعادلة)
ك = ٠.٦ × ٤٢ (عوض عن ل بعدد اللترات.)
ك = ٢٥.٢ (بسط)
إذن ثمن ٤٢ لتراً من البنزين يساوي ٢٥.٢ ريالاً.
تمرين:
يطبع رامي صفحتين في ١٥ دقيقة. اكتب معادلة تعبر عن العلاقة بين عدد الدقائق "ن"، وعدد الصفحات المطبوعة "ص". وإذا استمرت الطباعة وفق المعدل نفسه فما عدد الدقائق اللازمة لطباعة ١٠ صفحات، ولطباعة ٢٥ صفحة؟
الحل:
ثابت التناسب = عدد الصفحات / عدد الدقائق =ص/ ن = ١٥ /٢ = ١ / ٧.٥
ص/ ن =١ / ٧.٥ (اضرب ضرباً تبادلياً)
المعادلة: ن = ٧.٥ ص
عدد الدقائق لطباعة ١٠ صفحات = ٧.٥ × ١٠ = ٧٥ دقيقة .
عدد الدقائق لطباعة ٢٥ صفحة = ٧.٥ × ٢٥ = ١٨٧.٥ دقيقة.
لسّى درس حل التناسب صعب عليك؟ لك حصتين مجانية مع باقتك الأولى
