شرح درس التباديل والتوافيق

نتحدث في هذا المقال عن موضوع هام جدا ورئيسي من مواضيع الاحتمالات حيث يوفر التباديل والتوافيق حلاً للعديد والعديد من المسائل الحسابية الاحصائية بإيجاد عدد من الاحتمالات الخاصة أو كيفية ايجاد عدد الطرق لاختيار معين في موقف ما.

وهو الأسلوب المتبع في حساب اليانصيب أو اختيار متسابق من ضمن العديد من الاشخاص لكسب هدية واحدة أو معرفة عدد طرق ترتيب حروف معينة لتكوين عدد من الكلمات و هكذا 
وهما يساهمان في توزيع العناصر في المجموعات العددية المختلفة وتشكيل مجموعات فرعية أخرى منها.

وبذلك تعتمد الكثير من المشاكل الرياضية على الإجابة عن السؤال التالي:

كم عدد المجموعات التي يمكن تكوينها من عدد معين من الأشياء؟ 

مثلا: كم عينة يتكون كل منها من 200 طالب يمكن تكوينها من 3000 طالب؟ 

ومثل هذه التساؤلات يساعدنا في حلها التباديل والتوافيق بصورة علمية دقيقة وكذلك معالجة الكثير و اوالكثير نظريات الاحتمال.

مبدأ العد:

إذا أمكن إجراء عملية ما بعدد "ن" طريقة وعملية أخرى يمكن إجراؤها بعدد "م" طريقة فإنه يمكن إجراء العمليتين معا عن طريق ن*م طريقة.

 
مثال:
إذا أمكن المسافر ما من القاهرة إلى الإسكندرية عند الذهاب استخدام 5 وسائل مواصلات مختلفة ثم العودة. أوجد عدد وسائل المواصلات في الذهاب والإياب معا؟ 

الحل:
اولا إذا كان المسافر يستطيع أن يستخدم نفس الوسيلة في العودة:
عدد وسائل الذهاب 5
وعدد وسائل الإياب 5
اذن عدد وسائل الذهاب والإياب = 5*5= 25 وسيلة.

ثانيا إذا كان المسافر لا يستطيع استخدام نفس الوسيلة في العودة:
عدد وسائل الذهاب = 5 
عدد وسائل الإياب = 4
اذن عدد وسائل الذهاب والإياب = 5*4 =20 وسيلة.

ملاحظة: 

نلاحظ في المثال السابق انه في الحالة الثانية كان عدد اختيار الوسيلة المناسبة في الذهاب وسائل وفي الاياب 4 وسائل اي انه في حالة عدم السماح بتكرار نفس الوسيلة التي استخدمت في العمل الأولى فإن عدد إجراء العمليتين معا = 4 * 5 = 20 وسيلة.

التباديل والتوافيق التشابه بينهما كبير وهو استخدام طرق الضرب في إيجاد عدد عناصر فضاء العينة لمجموعة ما بها عناصر مشتركة في صفة أو مجموعة من الصفات تجمعهم مجموعة واحدة اما الاختلاف فيكمن في طريقة الضرب نفسها.

فالتبديلة هي كل مجموعة جزئية يمكن اختيارها من مجموعة تحتوي على عدة عناصر يأخذه كلها او بعضها مع مراعاة ترتيب عناصر المجموعة الجزئية المختارة. 
اما التوفيقة هي كل مجموعة جزئية يمكن اختيارها من مجموعة تحتوي على عدة عناصر باخذها كلها او بعضها دون مراعاة ترتيب عناصر المجموعة الجزئية المختارة إذن فالأمر بسيط التباديل هي تبديل وترتيب اما التوافيق فهي اختيار وانتقاء.

دعنا نعطي مثال بسيط اخير قبل الدخول في الفروق الفعلية: 
لو كان المطلوب اختيار عضوين من مجموعة لاعبين مكونة من 10 لاعبين فهذا يعتبر توافيق اما إذا كان المطلوب ترتيب 5 صور في ألبوم يسع 20 صورة فذا يعتبر تبادل.

الفرق بين التباديل والتوافيق
 

التباديل:

قد يكون من المهم المحافظة على الترتيب الدقيق والثابت لعناصر المجموعة الواحدة وهذا ما يتم في التباديل ويمكن الحصول على قيمة التباديل من خلال استخدام تلك القانون:
ن! /(ن_ر)! 
حيث "ن" عدد عناصر المجموعة و "ر" العناصر المراد اختيارها.

مثال ١:
كم عدد الطرق التي يمكن ترتيب الأحرف a'b'c'd في كلمة مكونة من أربعة أحرف؟ 
الحل: 

ن! /(ن_ر)! : ن=4 ' ر=4
4!/(4_4)!=4*3*2*1/1=24 طريقة 

مثال٢:
كم عدد الطرق التي يتم بها اختيار الفائز الأول والثاني من بين 10؟
الحل:
10!/(10_2)!=10!/8!=10*9*8!/8!=90

مثال٣:
كم عدد الطرق التي يمكن بها وضع 5 أجسام وراء بعضها البعض؟
الحل:
ن! /(ن_ر)! =5!/(5_5)!=5*4*3*2*1/1=120
 

والجدير بالذكر أنه يمكن إيجاد التباديل في الآلة الحاسبة بمنتهى السهولة وبدون الخطوات السابقة وذلك بالضغط على الزر nPr وذلك بالضغط على زر Shift اولا ثم *

التوافيق 

هو عدد التشكيلات الممكنة لانتقاء مجموعة جزئية من مجموعة كلية من العناصر دون النظر للترتيب أو دون وضع أي شروط أو قيود لعملية الاختيار ولإيجاد قيمة التوافيق بدون الآلة الحاسبة نستخدم القانون الاتي:
ن! /(ن_ر)! ر! 
حيث "ن" عدد عناصر المجموعة و "ر" العنصر المراد اختياره
 

مثال١:
كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار ثلاثة لاعبين من أصل عشرة لاعبين؟
الحل:
ن/(ن_ر)! ر! 
10/(10_3)!3!=10*9*8*7!/7!*3*2=120 طريقة
 

مثال٢:
كم عدد الطرق التي يمكن بها وضع ثلاث قطع من بسكويت الشكولاتة وعشر قطع من بسكويت التوت في صندوق يستوعب 13 قطعة.
الحل:
13!/(13_3)!3!=13*12*11*10!/10!3!=13*12*11/ 3*2= 286
 

مثال٣:
بكم طريقة يمكننا تشكيل ثلاث مجموعات مكونة من طفلين وثلاث أطفال و أربع أطفال من المجموعة الكلية المكونة من 9 أطفال. 
الحل:
"ن"